数学って何の役に立つの？

数学の解答っぽい文の書き方①

前回、問題を解きました。

今回は、前回の記事から証明っぽい文章の書き方をまとめたいと思います。

（1）
f(x)がx ≧ 14の範囲で0より大きいことを証明する問題です。

f(x)が0より大きいことを示すには、「f(x) = 0がその範囲で実数解を持たない」などという考え方もありますが、少なくとも整数解はないようです。

というか、整数解があるなら、f(x) = 0を解けと丸投げされそうですよね。

そこで、グラフの形に注目して、「x ≧ 14の範囲でf(x)は常に上方向に変化すること」「x = 14の時点でf(x)が正の範囲にあること」を言うことで証明しようという考え方です。

f(x)を微分して計算すると、「x > 8の範囲でf(x)は増え続ける関数であること」がわかりました。

そして、代入することでx = 14においてf(x)が正であることもわかります。

この2点が揃っていれば証明になるでしょう。

この2点からf(x)が正であることを示す法則を知っていれば「～の定理より、」といった言葉を入れるのも良いかもしれませんが、私は知りません。

（2）
この問題、解法が思いつかなくて最初のとっかかりだけ答えを見ました。受け売りですみません。

bが自然数となる自然数aを全部探せという問題ですね。

bの式を見ると分母がaの3次式、分子がaの2次式ですが、一般には3次式のほうが代入したとき答えが大きくなるイメージがありませんか？

全体で見るとaの係数は-1になり、1未満の分数になりそうな気がします。

そこで、そもそもbが1以上になるという条件で絞れるか検討してみましょう。

1以上という式を立てると、（1）の式が出てきました。

（1）の結果（x ≧ 14 ⇒ f(x) > 0）の対偶は、f(x) ≦ 0 ⇒ x < 14です。

（1）から、この論理式は真であることがわかります。

ここまででaが1～13のどれかということになりました。

さて、分数の式を自然数で表すには、分子が分母で割り切れなければなりません。

この条件を使うために、分母を因数分解しました。

すると、分母は3つの数が連続していることがわかります。

3つの数が連続しているとそれは6の倍数になりますから、分子も6の倍数であることが必要なわけです。

分子をいきなり6でくくると頭が混乱するので、まず2でくくって、さらにそこから3でくくることで6の倍数という条件を使いました。

2でくくったら分数が出てきてしまいましたが、分数ではいけないので、aは係数の分母が消えるように2の倍数でないといけません。

さらに、2でくくった中身は3の倍数でないといけません。

a²の項は係数を見ると確実に3の倍数となるので、それ以外の項を見ます。

計算でまとめると、3の倍数にするには、aは3で割ったとき2余る数でないといけないようです。

この先、bを求める計算をしているように見えますが、bを求めなくてもよい場合でもこの計算はしなければなりません。

先程も前回書いた解答でも、｢であることが必要｣と書いています。

今まで検討していた条件は、すべて必要条件だからです。

十分性を確認しないと、余分な解が紛れている可能性があるのです。

今回の場合「6の倍数」という条件で検討しています。

連続した3つの数が1, 2, 3のとき、3つの掛け算は6となりますが、2, 3, 4の3つのとき、24となり、6の倍数なだけではまだ分数になる可能性が残っています。分子が6の場合、6 / 24 = 1 / 4となり、6の倍数という条件は満たしていますが答えとしての自然数になるという条件は満たせないのです。

というわけで、答えの可能性があるaすべてをひとつひとつ、解として適切かどうか確認しなければなりません。

今回は全て解の条件を満たしていましたね。

このようにして、答えが得られます。

必要条件で求めた解は十分性があるか確認しましょう。

問題演習①

タイトルそのまんまです。

証明問題を説明しようと思って、問題を探しました。

1問だけ解いたので今回はこれを書きます。

なお私は数学の専門ではありません。間違っていても責任は負えませんのであしからず。

詳しい説明を書きました。この記事を読んだら是非こちらもどうぞ。

金沢大学文系、前期日程からです。

以下の問いに答えよ。
（1）f(x) = x³ - 6x² - 96x - 80 とする。x ≧ 14ならばf(x) > 0となることを示せ。
（2）自然数aに対して、b = (9a² + 98a + 80) / (a³ + 3a² + 2a)とおく。bも自然数となるようなaとbの組(a, b)をすべて求めよ。

（1）
f'(x) = 3x² - 12x - 96
であり、f'(x) = 0となるのは、次の計算により-4と8のときである：
3x² - 12x - 96 = 0
x² - 4x - 32 = 0
(x+4) (x-8) = 0
x = -4, 8
また、y = f'(x)は下に凸であるから、x > 8においてf(x)は単調に増加する。
ここで、
f(14) = 14³ - 6 * 14² - 96*14 - 80
= 144 > 0
である。
よって、x≧14ならばf(x)>0となる。

（2）
b = (9a² + 98a + 80) / (a³ + 3a² + 2a) …①
が自然数であるとき、
(9a² + 98a + 80) / (a³ + 3a² + 2a) ≧ 1
が成り立つ。
また、aは自然数であるから、a³ + 3a² + 2a > 0 で、
9a² + 98a + 80 ≧ a³ + 3a² + 2a
a³ - 6a² - 96a - 80 = f(a) ≦ 0
（1）から、a < 14 (*)となることが分かる。
一方、①は次のように変形することができ、分母は6の倍数であることが分かる：
b = (9a² + 98a + 80) / {a (a + 1) (a + 2)} …②
つまり、bが自然数となるとき、②の分子も6の倍数となる。
9a² + 98a + 80
= (9a² + 98a + 2) + 6 × 13
= 2(9a² / 2 + 49a + 1) + 6 × 13
これを満たすaは、9a² / 2から2の倍数(**)である。
またこのとき、9a² / 2が3の倍数となるから、aは49a + 1を3の倍数にする必要がある。
すなわち、
49a + 1 = 3n (n∈N)
(16 × 3 + 1)a + 1 = 3n
3 × 16a + (a + 1) = 3n
から、a + 1 = 3n ⇔ a = 3n - 1 (***)
(*) - (***)から、aは2, 8であることが必要である。
i ) a = 2のとき
b = (9 × 2² + 98 × 2 + 80) / {2 × (2 + 1) × (2 + 2)}
∴b = 13 ∈ N
よって、(a, b) = (2, 13)は解のひとつである。
ii ) a = 8のとき
b = (9 × 8² + 98 × 8 + 80) / {8 × (8 + 1) × (8 + 2)}
∴b = 2 ∈ N
よって、(a, b) = (8, 2)は解のひとつである。

i), ii) より、
(a, b) = (2, 13), (8, 2)

もっと簡単にできるはずですが丁寧に考えるとこんな感じですか…

掛け算を先に計算する理由

証明に関する記事を書きたいと考えていました。

証明について書くには、予め正しいことが分かっている論理が必要になります。

最初から正しいことが分かっている事柄って何だろう…と考えていると、｢掛け算は先に計算する｣というルールが浮かびました。

ルールは何かから導かれるものではないため、証明ではなく合理性の話になってしまいますが証明の話題はまた思いついた時にでも…

足し算よりも掛け算を先に計算する理由について、ネット上には既に様々な意見が溢れていますが、私も便乗します。

ネット上で見た話の中で、一番納得できたのは｢掛け算と足し算は概念が違うが、掛け算は足し算に置き換えることができる。掛け算を展開すると足し算になるから、同じ概念に揃えるのが先である。｣という考え方(※他者様のサイトに飛びます)です。

私が用意していた理由はこれとは異なり、掛け算の意味から考えるものです。

掛け算は、ものをまとまりとしてみる計算です。

イガグリを5個拾いました。クリはいくつでしょう。という問題で、ひとつひとつイガグリのイガを割らなくても答えが出せるのです。

イガの中には3個のクリが入っていることが分かっていれば、イガの数を5個だと数えれば、あとは｢どのイガにも3個ずつクリが入っている｣として計算することができ、クリの数を直接数えなくても済むのです。

ここで、イガは、クリ3個がまとまったものとして、1個として数えているのです。

また、数えるという行為は足し算です。（これについて今はうまく説明できません…すみません）

この考え方でやったことを式で表すと、次のようになります。

(1 + 1 + 1 + 1 + 1)(イガの数を数える) × 3(分かっていること) = 15

もしも足し算が先ならどうなるでしょうか。

まず、イガグリを全部割り、ひとつひとつを数えることになります。

なぜそうなるかというと、まとめて考えるという作業（=計算、つまり掛け算）を後回しにするからです。

まとめて考えることを後回しにするということは、例え最初からまとまっていたとしても分解して考えないといけないのです。
最初に「まとまり」を見てはいけないのですから、「まとめているもの（イガ）」の存在は忘れるべきなのです。

そして、数えることで15個であることが分かりました。

掛け算をする前に答えが出てしまいました。つまり、足し算を先に行った場合、掛け算は用をなさなくなってしまう可能性があるのです。

……自分でも何が言いたいのかよく分からなくなってきたので今回はここまでにします。

ビールの泡の数について

お酒と聞いて、ジョッキからビールの泡がこぼれている絵を思い浮かべる人は少なくないと思います。

あの泡の数って、いったいどのくらいあるのでしょうか…

今回はこれを考えてみたいと思います。

実は私、化学の勉強をしている大学生です。
そこで化学の方向からアプローチしてしまうわけですがお付き合いください。

塩や氷などの結晶は規則正しく並んでいます。

塩はナトリウムイオンと塩化物イオンという2種類の粒がぎっちりと詰まっています。

水は特殊で、本当はもっとぎっちりと詰まることができるのですが、水分子が持つ手が握手したさすぎるせいで、綺麗には並びますが間が空いてしまいます。

間が空いているから氷は水より軽いわけなんですが、今回はさておき。

ぎっちりと詰まっている状態を、化学の世界で最密充填と呼びます。

最密充填の中の、今回は面心立方を考えます。

1辺aの単位格子内に、半径(a√2) / 4の球が4個入っています。

つまり、最密充填された空間のうち、球の内側である確率は

4[4π{(a√2) / 4}³ / 3] / a³ = 0.74

となり、74%であることが分かります。

次に、泡の体積を求めましょう。

ビールは、金色の液体と白色の泡が7:3であると美しいようです。

また、ジョッキの大きさには明確な決まりがないとのことですので、今回は合理的に
「液体部分が缶ビールの350mLと同じ」であるとしましょう。

ここから、泡の体積xが分かります。

350 : x = 7 : 3
7x = 3 * 350
x = 150 (mL)

ここで、泡は最密充填されていると考えると、このうち74%が泡の内側の空気となります。

150 * 0.74 = 111 (mL)

さて、ビールの泡の半径ってどのくらいなんでしょうか…

分からないのでr (cm) としておきましょうか。

泡の数をnとすると、nは次のように表せます：

n * 4πr³ / 3 = 111
n = 333π / (4r³)

よって、もし全ての泡の半径が1mm（=0.1cm）なら26万粒の泡があることになるわけです。
また、半径が0.5mm（=0.05cm）なら209万粒の泡がある計算になります。

分からないことが多いですが、分からないなりに色々計算で求めることができるのは面白いです。

オセロの裏表

プログラミングには数学が必要だという話を聞いたことがある方は多いと思います。

プログラミングで数学を活用するには、数学の問題が解けることよりも、数学的な操作の意味を深く知っていることが必要になります。

今回は、オセロの裏表を例に、算数・数学の活用法を考えてみます。

オセロゲームをプログラミングして自作するとき、「オセロを裏返す」という操作をパソコンが分かる言葉で表現しなければいけません。

どうすればよいでしょうか。

オセロの裏と表を、真と偽で表現すれば

裏返す　→　今の状態

と言い換えることができます。

今の状態のNotにすれば、裏は表に、表は裏になります。

ほかの方法でやっているものも聞いたことがあります。

表を1、裏を2として、

裏返す　→　3 - 今の状態

とすることで、表の時は3 - 1 = 2で裏に、裏の時は3 - 2 = 1で表になる、ということです。

これを応用すれば、色々なパターンを考えられそうです。

表を1、裏を-1として、

裏返す　→　今の状態 × (- 1)

まあこれは真偽とほぼ同じ…

表をsin θ、裏をcos θとして、0°≦θ≦90°の範囲に限定し、

裏返す　→　√1 - 今の状態²

……なんでもないですごめんなさい

じゃんけんで勝つ確率は1/2なのか

あいこのときやり直すじゃんけんでは、勝つ確率は1/2である……

本当でしょうか？

今回は、これをなるべく丁寧に検証してみたいと思います。

まず、じゃんけんで勝つ確率が本当に1/3であるかどうかを確認しましょう。

じゃんけんで勝つと一口にいっても、｢グーで勝つ｣｢チョキで勝つ｣｢パーで勝つ｣の3通りが考えられるわけです。

自分がグーを出す確率をsとすると、グーで勝つ確率は
s × 1/3 = s / 3
となります。

自分がチョキを出す確率をtとすると、チョキでかつ確率は
t × 1/3 = t / 3
です。

すると、自分がパーを出す確率は1 - (s + t)ですから、パーで勝つ確率は
{1 - (s + t)} × 1/3 = 1 / 3 - (s + t) / 3

以上から、自分が1回のじゃんけんで勝つ確率は次のようになります：
s / 3 + t / 3 + {1 / 3 - (s + t) / 3} = 1 / 3

ということで、自分の手癖を考慮してもその人が勝つ確率が1/3であることが確認できました。

では、あいこのときやり直すというルールのもとでじゃんけんしたときの、いつかは自分が勝つ確率が1/2であることを確認してみましょう。

1回目に勝つ確率は、前述のとおり1/3です。

2回目に勝つ確率は、1回目あいこになり、かつ2回目に勝つ確率ですから
1 / 3 × 1 / 3 = (1 / 3)²

3回目に勝つ確率は、1回目も2回目もあいこになり、かつ3回目に勝つ確率ですから
(1 / 3)² × 1 / 3 = (1 / 3)³

同様に、n回目に勝つ確率は、(n - 1)回目まで全てあいこになり、かつn回目に勝つ確率であり
(1 / 3)ⁿ

と考えられます。

よって、じゃんけんで勝つ確率は

Σ_(1≦n<∞) (1 / 3)n
= lim_(n→∞) [1 / 3 × (1 - 1/3ⁿ) / (1 - 1/3)]
= 1 / 3 × (3 / 2)
= 1 / 2

となり、1/2となりました。

確率って丁寧に解こうとすると面倒くさいんですよね……

マイナンバーの桁数

マイナンバーが導入されて久しいですね。

今回は、マイナンバーについて考えてみようと思います。

マイナンバーは12桁の番号が、日本国民全員に割り振られるシステムです。

12桁ってどのくらいの数なのでしょうか……

12桁の最大は999,999,999,999となり、0を含めてちょうど1兆人に異なる番号を振ることができます。

1兆の番号が使い果たされるのはいつか計算してみましょう。

2015年の1年間ではおよそ100万人の子供が生まれているようです。

毎年100万の新しい番号が消費されるとし、また、現在の日本の人口を1億人と仮定したとき、x年後における番号の余りの数yは

y = 1兆 - 1億 - (100万 × x)
y = 9999億 - 0.01億 x

となります。

さらに、これを使い果たすのは、y = 0となるとき、すなわち

0 = 9999億 - 0.01億 x
0.01 x = 9999
x = 999900

と計算でき、99万9900年後であることが分かります。

ナンバリングのルールにより欠番は生じるのでしょうが、今のところ番号が足りなくなることはなさそうですね。

私たちは毎日2トンの水を温めている！？

正月雰囲気もそろそろ終わり、正月太りからのダイエットが流行りだす頃と思います。

そこで、今日はカロリーというものをエネルギーの単位として見てみようと思います。

カロリーとは、1gの水の温度を1℃上げるのに必要な熱の量と定義されるようです。

そして、成人の標準摂取カロリーは、その人の状態により差はあれど、およそ2000キロカロリーです。

このカロリーを消費するのに、いったいどれだけのエネルギーが必要なのでしょうか。

1カロリーは1gの水を1℃上げるのに必要なエネルギーです。
2カロリーは2gの水を1℃上げるのに必要なエネルギーです。
・・・　　・・・
2000カロリーは2000gの水を1℃上げるのに必要なエネルギーです。

そして、1キロカロリーは1000カロリーです。

さて、2000キロカロリーは一体どれだけのエネルギーなんでしょうか…
2000カロリーが2000g、つまり2kgの水を1℃温めるのに必要なエネルギーです。

2000キロカロリーはその1000倍、2トンの水を1℃温めるのに必要なエネルギーということになります。

ちなみに日本人の平均摂取カロリーは2500キロカロリーとのことですので、私たちは普段から2.5トンの水を1℃温めている計算になるわけです。
アメリカ人なら4000キロカロリーを摂取しているので、4トンの水を温めているのですね！

摂取したすべてのエネルギーが熱になっているわけではありませんが、その規模のエネルギーを摂取していることは忘れないようにしたいものです。

面積2倍って……

前回、前々回の記事で、卓球台の面積を2倍にするためには幅をどれだけ大きくすればいいか考えてきました。

ここで思った人がいるでしょう。

「面積2倍って、卓球台2つ並べればよくね？」

今回はこの件について考えてみようと思います。

卓球台を2つ並べてひとつの卓球台とすれば、確かに面積は2倍になります。

では、面積が2倍になったとき、縦・横の比はどうなるのでしょうか。

卓球台の面積は、何度も確認しているように1525 × 2740(mm)です。

では、2つの卓球台を横に並べて使うことを考えてみましょう。

1525mmの幅のみが2倍され、これが長さになりますから、縦横比は

2740 : 1525 × 2 = 2740 : 3050

となります。

ちなみに、このように面積を2倍にしても縦横比が変わらない図形は、ノート、プリントなどに使われており、その縦横比は白銀比と呼ばれています。

卓球台の縦横比に関して（続き）

前回、卓球台の面積を2倍にするためには卓球台の4辺をすべて821mm伸ばせばよいことをまとめました。

今回は、卓球台の面積を2倍にしつつ、卓球台の形を変えない方法について考えていきたいと思います。

卓球台の面積を倍にしたのはいいが、卓球台らしからぬ形になっては面倒ですね。

形を変えずに大きさを変えるための考え方として、相似があります。

相似とは、2つの図形のうち一方を拡大・縮小すれば他方と重なる状態をいいます。

一方をr倍したとき、その図形は縦も横もr倍になっているため、面積はr²倍になるのです。

では、面積を2倍にしようと思ったら、1辺は何倍にすればよいのでしょうか。

√2倍です。

つまり、1525 × 2740(mm)の卓球台をその形を変えずに大きくするには、

幅 : 1525 × √2 = 2157 (mm)
長さ : 2740 × √2 = 3875 (mm)

にすればよいことになります。