証明問題を説明しようと思って、問題を探しました。
1問だけ解いたので今回はこれを書きます。
なお私は数学の専門ではありません。間違っていても責任は負えませんのであしからず。
詳しい説明を書きました。この記事を読んだら是非こちらもどうぞ。
金沢大学文系、前期日程からです。
以下の問いに答えよ。
（1）f(x) = x3 - 6x2 - 96x - 80 とする。x ≧ 14ならばf(x) > 0となることを示せ。
（2）自然数aに対して、b = (9a2 + 98a + 80) / (a3 + 3a2 + 2a)とおく。bも自然数となるようなaとbの組(a, b)をすべて求めよ。
（1）
f'(x) = 3x2 - 12x - 96
であり、f'(x) = 0となるのは、次の計算により-4と8のときである：
3x2 - 12x - 96 = 0
x2 - 4x - 32 = 0
(x+4) (x-8) = 0
x = -4, 8
また、y = f'(x)は下に凸であるから、x > 8においてf(x)は単調に増加する。
ここで、
f(14) = 143 - 6 * 142 - 96*14 - 80
= 144 > 0
である。
よって、x≧14ならばf(x)>0となる。
（2）
b = (9a2 + 98a + 80) / (a3 + 3a2 + 2a) …①
が自然数であるとき、
(9a2 + 98a + 80) / (a3 + 3a2 + 2a) ≧ 1
が成り立つ。
また、aは自然数であるから、a3 + 3a2 + 2a > 0 で、
9a2 + 98a + 80 ≧ a3 + 3a2 + 2a
a3 - 6a2 - 96a - 80 = f(a) ≦ 0
（1）から、a < 14 (*)となることが分かる。
一方、①は次のように変形することができ、分母は6の倍数であることが分かる：
b = (9a2 + 98a + 80) / {a (a + 1) (a + 2)} …②
つまり、bが自然数となるとき、②の分子も6の倍数となる。
9a2 + 98a + 80
= (9a2 + 98a + 2) + 6 × 13
= 2(9a2 / 2 + 49a + 1) + 6 × 13
これを満たすaは、9a2 / 2から2の倍数(**)である。
またこのとき、9a2 / 2が3の倍数となるから、aは49a + 1を3の倍数にする必要がある。
すなわち、
49a + 1 = 3n (n∈N)
(16 × 3 + 1)a + 1 = 3n
3 × 16a + (a + 1) = 3n
から、a + 1 = 3n ⇔ a = 3n - 1 (***)
(*) - (***)から、aは2, 8であることが必要である。
i ) a = 2のとき
b = (9 × 22 + 98 × 2 + 80) / {2 × (2 + 1) × (2 + 2)}
∴b = 13 ∈ N
よって、(a, b) = (2, 13)は解のひとつである。
ii ) a = 8のとき
b = (9 × 82 + 98 × 8 + 80) / {8 × (8 + 1) × (8 + 2)}
∴b = 2 ∈ N
よって、(a, b) = (8, 2)は解のひとつである。
i), ii) より、
(a, b) = (2, 13), (8, 2)
もっと簡単にできるはずですが丁寧に考えるとこんな感じですか…
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