数学って何の役に立つの？

前回、問題を解きました。

今回は、前回の記事から証明っぽい文章の書き方をまとめたいと思います。

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（1）
f(x)がx ≧ 14の範囲で0より大きいことを証明する問題です。

f(x)が0より大きいことを示すには、「f(x) = 0がその範囲で実数解を持たない」などという考え方もありますが、少なくとも整数解はないようです。

というか、整数解があるなら、f(x) = 0を解けと丸投げされそうですよね。

そこで、グラフの形に注目して、「x ≧ 14の範囲でf(x)は常に上方向に変化すること」「x = 14の時点でf(x)が正の範囲にあること」を言うことで証明しようという考え方です。

f(x)を微分して計算すると、「x > 8の範囲でf(x)は増え続ける関数であること」がわかりました。

そして、代入することでx = 14においてf(x)が正であることもわかります。

この2点が揃っていれば証明になるでしょう。

この2点からf(x)が正であることを示す法則を知っていれば「～の定理より、」といった言葉を入れるのも良いかもしれませんが、私は知りません。

（2）
この問題、解法が思いつかなくて最初のとっかかりだけ答えを見ました。受け売りですみません。

bが自然数となる自然数aを全部探せという問題ですね。

bの式を見ると分母がaの3次式、分子がaの2次式ですが、一般には3次式のほうが代入したとき答えが大きくなるイメージがありませんか？

全体で見るとaの係数は-1になり、1未満の分数になりそうな気がします。

そこで、そもそもbが1以上になるという条件で絞れるか検討してみましょう。

1以上という式を立てると、（1）の式が出てきました。

（1）の結果（x ≧ 14 ⇒ f(x) > 0）の対偶は、f(x) ≦ 0 ⇒ x < 14です。

（1）から、この論理式は真であることがわかります。

ここまででaが1～13のどれかということになりました。

さて、分数の式を自然数で表すには、分子が分母で割り切れなければなりません。

この条件を使うために、分母を因数分解しました。

すると、分母は3つの数が連続していることがわかります。

3つの数が連続しているとそれは6の倍数になりますから、分子も6の倍数であることが必要なわけです。

分子をいきなり6でくくると頭が混乱するので、まず2でくくって、さらにそこから3でくくることで6の倍数という条件を使いました。

2でくくったら分数が出てきてしまいましたが、分数ではいけないので、aは係数の分母が消えるように2の倍数でないといけません。

さらに、2でくくった中身は3の倍数でないといけません。

a²の項は係数を見ると確実に3の倍数となるので、それ以外の項を見ます。

計算でまとめると、3の倍数にするには、aは3で割ったとき2余る数でないといけないようです。

この先、bを求める計算をしているように見えますが、bを求めなくてもよい場合でもこの計算はしなければなりません。

先程も前回書いた解答でも、｢であることが必要｣と書いています。

今まで検討していた条件は、すべて必要条件だからです。

十分性を確認しないと、余分な解が紛れている可能性があるのです。

今回の場合「6の倍数」という条件で検討しています。

連続した3つの数が1, 2, 3のとき、3つの掛け算は6となりますが、2, 3, 4の3つのとき、24となり、6の倍数なだけではまだ分数になる可能性が残っています。分子が6の場合、6 / 24 = 1 / 4となり、6の倍数という条件は満たしていますが答えとしての自然数になるという条件は満たせないのです。

というわけで、答えの可能性があるaすべてをひとつひとつ、解として適切かどうか確認しなければなりません。

今回は全て解の条件を満たしていましたね。

このようにして、答えが得られます。

必要条件で求めた解は十分性があるか確認しましょう。

タイトルそのまんまです。

証明問題を説明しようと思って、問題を探しました。

1問だけ解いたので今回はこれを書きます。

なお私は数学の専門ではありません。間違っていても責任は負えませんのであしからず。

詳しい説明を書きました。この記事を読んだら是非こちらもどうぞ。

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金沢大学文系、前期日程からです。


（1）
f'(x) = 3x² - 12x - 96
であり、f'(x) = 0となるのは、次の計算により-4と8のときである：
3x² - 12x - 96 = 0
x² - 4x - 32 = 0
(x+4) (x-8) = 0
x = -4, 8
また、y = f'(x)は下に凸であるから、x > 8においてf(x)は単調に増加する。
ここで、
f(14) = 14³ - 6 * 14² - 96*14 - 80
= 144 > 0
である。
よって、x≧14ならばf(x)>0となる。

（2）
b = (9a² + 98a + 80) / (a³ + 3a² + 2a) …①
が自然数であるとき、
(9a² + 98a + 80) / (a³ + 3a² + 2a) ≧ 1
が成り立つ。
また、aは自然数であるから、a³ + 3a² + 2a > 0 で、
9a² + 98a + 80 ≧ a³ + 3a² + 2a
a³ - 6a² - 96a - 80 = f(a) ≦ 0
（1）から、a < 14 (*)となることが分かる。
一方、①は次のように変形することができ、分母は6の倍数であることが分かる：
b = (9a² + 98a + 80) / {a (a + 1) (a + 2)} …②
つまり、bが自然数となるとき、②の分子も6の倍数となる。
9a² + 98a + 80
= (9a² + 98a + 2) + 6 × 13
= 2(9a² / 2 + 49a + 1) + 6 × 13
これを満たすaは、9a² / 2から2の倍数(**)である。
またこのとき、9a² / 2が3の倍数となるから、aは49a + 1を3の倍数にする必要がある。
すなわち、
49a + 1 = 3n (n∈N)
(16 × 3 + 1)a + 1 = 3n
3 × 16a + (a + 1) = 3n
から、a + 1 = 3n ⇔ a = 3n - 1 (***)
(*) - (***)から、aは2, 8であることが必要である。
i ) a = 2のとき
b = (9 × 2² + 98 × 2 + 80) / {2 × (2 + 1) × (2 + 2)}
∴b = 13 ∈ N
よって、(a, b) = (2, 13)は解のひとつである。
ii ) a = 8のとき
b = (9 × 8² + 98 × 8 + 80) / {8 × (8 + 1) × (8 + 2)}
∴b = 2 ∈ N
よって、(a, b) = (8, 2)は解のひとつである。

i), ii) より、
(a, b) = (2, 13), (8, 2)

もっと簡単にできるはずですが丁寧に考えるとこんな感じですか…

証明に関する記事を書きたいと考えていました。

証明について書くには、予め正しいことが分かっている論理が必要になります。

最初から正しいことが分かっている事柄って何だろう…と考えていると、｢掛け算は先に計算する｣というルールが浮かびました。

ルールは何かから導かれるものではないため、証明ではなく合理性の話になってしまいますが証明の話題はまた思いついた時にでも…

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足し算よりも掛け算を先に計算する理由について、ネット上には既に様々な意見が溢れていますが、私も便乗します。

ネット上で見た話の中で、一番納得できたのは｢掛け算と足し算は概念が違うが、掛け算は足し算に置き換えることができる。掛け算を展開すると足し算になるから、同じ概念に揃えるのが先である。｣という考え方(※他者様のサイトに飛びます)です。

私が用意していた理由はこれとは異なり、掛け算の意味から考えるものです。

掛け算は、ものをまとまりとしてみる計算です。

イガグリを5個拾いました。クリはいくつでしょう。という問題で、ひとつひとつイガグリのイガを割らなくても答えが出せるのです。

イガの中には3個のクリが入っていることが分かっていれば、イガの数を5個だと数えれば、あとは｢どのイガにも3個ずつクリが入っている｣として計算することができ、クリの数を直接数えなくても済むのです。

ここで、イガは、クリ3個がまとまったものとして、1個として数えているのです。

また、数えるという行為は足し算です。（これについて今はうまく説明できません…すみません）

この考え方でやったことを式で表すと、次のようになります。

(1 + 1 + 1 + 1 + 1)(イガの数を数える) × 3(分かっていること) = 15


もしも足し算が先ならどうなるでしょうか。

まず、イガグリを全部割り、ひとつひとつを数えることになります。

なぜそうなるかというと、まとめて考えるという作業（=計算、つまり掛け算）を後回しにするからです。

まとめて考えることを後回しにするということは、例え最初からまとまっていたとしても分解して考えないといけないのです。
最初に「まとまり」を見てはいけないのですから、「まとめているもの（イガ）」の存在は忘れるべきなのです。

そして、数えることで15個であることが分かりました。

掛け算をする前に答えが出てしまいました。つまり、足し算を先に行った場合、掛け算は用をなさなくなってしまう可能性があるのです。


……自分でも何が言いたいのかよく分からなくなってきたので今回はここまでにします。

お酒と聞いて、ジョッキからビールの泡がこぼれている絵を思い浮かべる人は少なくないと思います。

あの泡の数って、いったいどのくらいあるのでしょうか…

今回はこれを考えてみたいと思います。

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実は私、化学の勉強をしている大学生です。
そこで化学の方向からアプローチしてしまうわけですがお付き合いください。


塩や氷などの結晶は規則正しく並んでいます。

塩はナトリウムイオンと塩化物イオンという2種類の粒がぎっちりと詰まっています。

水は特殊で、本当はもっとぎっちりと詰まることができるのですが、水分子が持つ手が握手したさすぎるせいで、綺麗には並びますが間が空いてしまいます。

間が空いているから氷は水より軽いわけなんですが、今回はさておき。


ぎっちりと詰まっている状態を、化学の世界で最密充填と呼びます。

最密充填の中の、今回は面心立方を考えます。

1辺aの単位格子内に、半径(a√2) / 4の球が4個入っています。

つまり、最密充填された空間のうち、球の内側である確率は

4[4π{(a√2) / 4}³ / 3] / a³ = 0.74

となり、74%であることが分かります。

次に、泡の体積を求めましょう。

ビールは、金色の液体と白色の泡が7:3であると美しいようです。

また、ジョッキの大きさには明確な決まりがないとのことですので、今回は合理的に
「液体部分が缶ビールの350mLと同じ」であるとしましょう。

ここから、泡の体積xが分かります。

350 : x = 7 : 3
7x = 3 * 350
x = 150 (mL)

ここで、泡は最密充填されていると考えると、このうち74%が泡の内側の空気となります。

150 * 0.74 = 111 (mL)

さて、ビールの泡の半径ってどのくらいなんでしょうか…

分からないのでr (cm) としておきましょうか。

泡の数をnとすると、nは次のように表せます：

n * 4πr³ / 3 = 111
n = 333π / (4r³)

よって、もし全ての泡の半径が1mm（=0.1cm）なら26万粒の泡があることになるわけです。
また、半径が0.5mm（=0.05cm）なら209万粒の泡がある計算になります。

分からないことが多いですが、分からないなりに色々計算で求めることができるのは面白いです。

プログラミングには数学が必要だという話を聞いたことがある方は多いと思います。

プログラミングで数学を活用するには、数学の問題が解けることよりも、数学的な操作の意味を深く知っていることが必要になります。

今回は、オセロの裏表を例に、算数・数学の活用法を考えてみます。

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オセロゲームをプログラミングして自作するとき、「オセロを裏返す」という操作をパソコンが分かる言葉で表現しなければいけません。

どうすればよいでしょうか。

オセロの裏と表を、真と偽で表現すれば

裏返す　→　今の状態

と言い換えることができます。

今の状態のNotにすれば、裏は表に、表は裏になります。


ほかの方法でやっているものも聞いたことがあります。

表を1、裏を2として、

裏返す　→　3 - 今の状態

とすることで、表の時は3 - 1 = 2で裏に、裏の時は3 - 2 = 1で表になる、ということです。


これを応用すれば、色々なパターンを考えられそうです。

表を1、裏を-1として、

裏返す　→　今の状態 × (- 1)

まあこれは真偽とほぼ同じ…


表をsin θ、裏をcos θとして、0°≦θ≦90°の範囲に限定し、

裏返す　→　√1 - 今の状態²

……なんでもないですごめんなさい