数学って何の役に立つの？

お酒と聞いて、ジョッキからビールの泡がこぼれている絵を思い浮かべる人は少なくないと思います。

あの泡の数って、いったいどのくらいあるのでしょうか…

今回はこれを考えてみたいと思います。

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実は私、化学の勉強をしている大学生です。
そこで化学の方向からアプローチしてしまうわけですがお付き合いください。


塩や氷などの結晶は規則正しく並んでいます。

塩はナトリウムイオンと塩化物イオンという2種類の粒がぎっちりと詰まっています。

水は特殊で、本当はもっとぎっちりと詰まることができるのですが、水分子が持つ手が握手したさすぎるせいで、綺麗には並びますが間が空いてしまいます。

間が空いているから氷は水より軽いわけなんですが、今回はさておき。


ぎっちりと詰まっている状態を、化学の世界で最密充填と呼びます。

最密充填の中の、今回は面心立方を考えます。

1辺aの単位格子内に、半径(a√2) / 4の球が4個入っています。

つまり、最密充填された空間のうち、球の内側である確率は

4[4π{(a√2) / 4}³ / 3] / a³ = 0.74

となり、74%であることが分かります。

次に、泡の体積を求めましょう。

ビールは、金色の液体と白色の泡が7:3であると美しいようです。

また、ジョッキの大きさには明確な決まりがないとのことですので、今回は合理的に
「液体部分が缶ビールの350mLと同じ」であるとしましょう。

ここから、泡の体積xが分かります。

350 : x = 7 : 3
7x = 3 * 350
x = 150 (mL)

ここで、泡は最密充填されていると考えると、このうち74%が泡の内側の空気となります。

150 * 0.74 = 111 (mL)

さて、ビールの泡の半径ってどのくらいなんでしょうか…

分からないのでr (cm) としておきましょうか。

泡の数をnとすると、nは次のように表せます：

n * 4πr³ / 3 = 111
n = 333π / (4r³)

よって、もし全ての泡の半径が1mm（=0.1cm）なら26万粒の泡があることになるわけです。
また、半径が0.5mm（=0.05cm）なら209万粒の泡がある計算になります。

分からないことが多いですが、分からないなりに色々計算で求めることができるのは面白いです。