数学って何の役に立つの？

前回、問題を解きました。

今回は、前回の記事から証明っぽい文章の書き方をまとめたいと思います。

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（1）
f(x)がx ≧ 14の範囲で0より大きいことを証明する問題です。

f(x)が0より大きいことを示すには、「f(x) = 0がその範囲で実数解を持たない」などという考え方もありますが、少なくとも整数解はないようです。

というか、整数解があるなら、f(x) = 0を解けと丸投げされそうですよね。

そこで、グラフの形に注目して、「x ≧ 14の範囲でf(x)は常に上方向に変化すること」「x = 14の時点でf(x)が正の範囲にあること」を言うことで証明しようという考え方です。

f(x)を微分して計算すると、「x > 8の範囲でf(x)は増え続ける関数であること」がわかりました。

そして、代入することでx = 14においてf(x)が正であることもわかります。

この2点が揃っていれば証明になるでしょう。

この2点からf(x)が正であることを示す法則を知っていれば「～の定理より、」といった言葉を入れるのも良いかもしれませんが、私は知りません。

（2）
この問題、解法が思いつかなくて最初のとっかかりだけ答えを見ました。受け売りですみません。

bが自然数となる自然数aを全部探せという問題ですね。

bの式を見ると分母がaの3次式、分子がaの2次式ですが、一般には3次式のほうが代入したとき答えが大きくなるイメージがありませんか？

全体で見るとaの係数は-1になり、1未満の分数になりそうな気がします。

そこで、そもそもbが1以上になるという条件で絞れるか検討してみましょう。

1以上という式を立てると、（1）の式が出てきました。

（1）の結果（x ≧ 14 ⇒ f(x) > 0）の対偶は、f(x) ≦ 0 ⇒ x < 14です。

（1）から、この論理式は真であることがわかります。

ここまででaが1～13のどれかということになりました。

さて、分数の式を自然数で表すには、分子が分母で割り切れなければなりません。

この条件を使うために、分母を因数分解しました。

すると、分母は3つの数が連続していることがわかります。

3つの数が連続しているとそれは6の倍数になりますから、分子も6の倍数であることが必要なわけです。

分子をいきなり6でくくると頭が混乱するので、まず2でくくって、さらにそこから3でくくることで6の倍数という条件を使いました。

2でくくったら分数が出てきてしまいましたが、分数ではいけないので、aは係数の分母が消えるように2の倍数でないといけません。

さらに、2でくくった中身は3の倍数でないといけません。

a²の項は係数を見ると確実に3の倍数となるので、それ以外の項を見ます。

計算でまとめると、3の倍数にするには、aは3で割ったとき2余る数でないといけないようです。

この先、bを求める計算をしているように見えますが、bを求めなくてもよい場合でもこの計算はしなければなりません。

先程も前回書いた解答でも、｢であることが必要｣と書いています。

今まで検討していた条件は、すべて必要条件だからです。

十分性を確認しないと、余分な解が紛れている可能性があるのです。

今回の場合「6の倍数」という条件で検討しています。

連続した3つの数が1, 2, 3のとき、3つの掛け算は6となりますが、2, 3, 4の3つのとき、24となり、6の倍数なだけではまだ分数になる可能性が残っています。分子が6の場合、6 / 24 = 1 / 4となり、6の倍数という条件は満たしていますが答えとしての自然数になるという条件は満たせないのです。

というわけで、答えの可能性があるaすべてをひとつひとつ、解として適切かどうか確認しなければなりません。

今回は全て解の条件を満たしていましたね。

このようにして、答えが得られます。

必要条件で求めた解は十分性があるか確認しましょう。