数学って何の役に立つの？

あいこのときやり直すじゃんけんでは、勝つ確率は1/2である……

本当でしょうか？

今回は、これをなるべく丁寧に検証してみたいと思います。

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まず、じゃんけんで勝つ確率が本当に1/3であるかどうかを確認しましょう。

じゃんけんで勝つと一口にいっても、｢グーで勝つ｣｢チョキで勝つ｣｢パーで勝つ｣の3通りが考えられるわけです。

自分がグーを出す確率をsとすると、グーで勝つ確率は
s × 1/3 = s / 3
となります。

自分がチョキを出す確率をtとすると、チョキでかつ確率は
t × 1/3 = t / 3
です。

すると、自分がパーを出す確率は1 - (s + t)ですから、パーで勝つ確率は
{1 - (s + t)} × 1/3 = 1 / 3 - (s + t) / 3

以上から、自分が1回のじゃんけんで勝つ確率は次のようになります：
s / 3 + t / 3 + {1 / 3 - (s + t) / 3} = 1 / 3

ということで、自分の手癖を考慮してもその人が勝つ確率が1/3であることが確認できました。

では、あいこのときやり直すというルールのもとでじゃんけんしたときの、いつかは自分が勝つ確率が1/2であることを確認してみましょう。

1回目に勝つ確率は、前述のとおり1/3です。

2回目に勝つ確率は、1回目あいこになり、かつ2回目に勝つ確率ですから
1 / 3 × 1 / 3 = (1 / 3)²

3回目に勝つ確率は、1回目も2回目もあいこになり、かつ3回目に勝つ確率ですから
(1 / 3)² × 1 / 3 = (1 / 3)³

同様に、n回目に勝つ確率は、(n - 1)回目まで全てあいこになり、かつn回目に勝つ確率であり
(1 / 3)ⁿ

と考えられます。

よって、じゃんけんで勝つ確率は

Σ_(1≦n<∞) (1 / 3)n
= lim_(n→∞) [1 / 3 × (1 - 1/3ⁿ) / (1 - 1/3)]
= 1 / 3 × (3 / 2)
= 1 / 2

となり、1/2となりました。

確率って丁寧に解こうとすると面倒くさいんですよね……