数学って何の役に立つの？

ポケモンにおいてパーティーは何通りあるのか考えてほしいとリクエストをいただきました。
ありがとうございます。

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先日ポケットモンスター サン・ムーンが発売されましたね。

2017/01/04時点で公開されているポケモン総数は801匹だそうです。

このポケモン、完全にランダムに選んでパーティーを組んだら、何通りのパーティーが考えられるのでしょうか。

まず、私の知識から条件を考えます。

• ポケモンは801匹+卵の中から重複を許して選ぶ
• 最初の1匹以外のポケモンのエントリー順は考慮しない※バトル時に出る順とエントリー順は一致しないため。ポケルスとか何だかんだあった気はしますが忘れました
• エントリーするポケモンの数は1以上6以下、ただし卵だけでは認められない

さらに問題を簡単にするため、今回は次の条件を追加しようと思います。

• 先頭のポケモンは卵でない

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先頭のポケモンは801通り考えられる。　①

1. 2番目以降のポケモンが0匹のとき
　2番目以降のパーティーは、全て空席の1通り。
　すなわち、802⁰通り。
2. 2番目以降のポケモンが1匹のとき
　2番目以降のパーティーは、801匹または卵の802通り。
　すなわち、802¹通り。

3. 2番目以降のポケモンが2匹のとき
　2番目以降のパーティーは、802²通り。

4. 2番目以降のポケモンが3匹のとき
　2番目以降のパーティーは、802³通り。

5. 2番目以降のポケモンが4匹のとき
　2番目以降のパーティーは、802⁴通り。

6. 2番目以降のポケモンが5匹のとき
　2番目以降のパーティーは、802⁵通り。

①及び1-6から、ポケモンのパーティー総数は以下のようになる。

801 * (802⁰ + 802¹ + 802² + 802³ + 802⁴ + 802⁵)
= 801 * Σ_(0≦n≦5) (1 * 802ⁿ)
= 801 * (802⁶ - 1) / (802 - 1)
= 266,100,818,073,753,663

26京6100兆8180億7375万3663通りと計算できました。

ポケモンの数も増えましたね。