数学って何の役に立つの？

あいこのときやり直すじゃんけんでは、勝つ確率は1/2である……

本当でしょうか？

今回は、これをなるべく丁寧に検証してみたいと思います。

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まず、じゃんけんで勝つ確率が本当に1/3であるかどうかを確認しましょう。

じゃんけんで勝つと一口にいっても、｢グーで勝つ｣｢チョキで勝つ｣｢パーで勝つ｣の3通りが考えられるわけです。

自分がグーを出す確率をsとすると、グーで勝つ確率は
s × 1/3 = s / 3
となります。

自分がチョキを出す確率をtとすると、チョキでかつ確率は
t × 1/3 = t / 3
です。

すると、自分がパーを出す確率は1 - (s + t)ですから、パーで勝つ確率は
{1 - (s + t)} × 1/3 = 1 / 3 - (s + t) / 3

以上から、自分が1回のじゃんけんで勝つ確率は次のようになります：
s / 3 + t / 3 + {1 / 3 - (s + t) / 3} = 1 / 3

ということで、自分の手癖を考慮してもその人が勝つ確率が1/3であることが確認できました。

では、あいこのときやり直すというルールのもとでじゃんけんしたときの、いつかは自分が勝つ確率が1/2であることを確認してみましょう。

1回目に勝つ確率は、前述のとおり1/3です。

2回目に勝つ確率は、1回目あいこになり、かつ2回目に勝つ確率ですから
1 / 3 × 1 / 3 = (1 / 3)²

3回目に勝つ確率は、1回目も2回目もあいこになり、かつ3回目に勝つ確率ですから
(1 / 3)² × 1 / 3 = (1 / 3)³

同様に、n回目に勝つ確率は、(n - 1)回目まで全てあいこになり、かつn回目に勝つ確率であり
(1 / 3)ⁿ

と考えられます。

よって、じゃんけんで勝つ確率は

Σ_(1≦n<∞) (1 / 3)n
= lim_(n→∞) [1 / 3 × (1 - 1/3ⁿ) / (1 - 1/3)]
= 1 / 3 × (3 / 2)
= 1 / 2

となり、1/2となりました。

確率って丁寧に解こうとすると面倒くさいんですよね……

マイナンバーが導入されて久しいですね。

今回は、マイナンバーについて考えてみようと思います。

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マイナンバーは12桁の番号が、日本国民全員に割り振られるシステムです。

12桁ってどのくらいの数なのでしょうか……

12桁の最大は999,999,999,999となり、0を含めてちょうど1兆人に異なる番号を振ることができます。

1兆の番号が使い果たされるのはいつか計算してみましょう。

2015年の1年間ではおよそ100万人の子供が生まれているようです。

毎年100万の新しい番号が消費されるとし、また、現在の日本の人口を1億人と仮定したとき、x年後における番号の余りの数yは


y = 1兆 - 1億 - (100万 × x)
y = 9999億 - 0.01億 x

となります。

さらに、これを使い果たすのは、y = 0となるとき、すなわち

0 = 9999億 - 0.01億 x
0.01 x = 9999
x = 999900

と計算でき、99万9900年後であることが分かります。

ナンバリングのルールにより欠番は生じるのでしょうが、今のところ番号が足りなくなることはなさそうですね。

正月雰囲気もそろそろ終わり、正月太りからのダイエットが流行りだす頃と思います。

そこで、今日はカロリーというものをエネルギーの単位として見てみようと思います。

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カロリーとは、1gの水の温度を1℃上げるのに必要な熱の量と定義されるようです。

そして、成人の標準摂取カロリーは、その人の状態により差はあれど、およそ2000キロカロリーです。

このカロリーを消費するのに、いったいどれだけのエネルギーが必要なのでしょうか。

1カロリーは1gの水を1℃上げるのに必要なエネルギーです。
2カロリーは2gの水を1℃上げるのに必要なエネルギーです。
・・・　　・・・
2000カロリーは2000gの水を1℃上げるのに必要なエネルギーです。

そして、1キロカロリーは1000カロリーです。

さて、2000キロカロリーは一体どれだけのエネルギーなんでしょうか…
2000カロリーが2000g、つまり2kgの水を1℃温めるのに必要なエネルギーです。

2000キロカロリーはその1000倍、2トンの水を1℃温めるのに必要なエネルギーということになります。

ちなみに日本人の平均摂取カロリーは2500キロカロリーとのことですので、私たちは普段から2.5トンの水を1℃温めている計算になるわけです。
アメリカ人なら4000キロカロリーを摂取しているので、4トンの水を温めているのですね！


摂取したすべてのエネルギーが熱になっているわけではありませんが、その規模のエネルギーを摂取していることは忘れないようにしたいものです。

前回、前々回の記事で、卓球台の面積を2倍にするためには幅をどれだけ大きくすればいいか考えてきました。

ここで思った人がいるでしょう。

「面積2倍って、卓球台2つ並べればよくね？」

今回はこの件について考えてみようと思います。

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卓球台を2つ並べてひとつの卓球台とすれば、確かに面積は2倍になります。

では、面積が2倍になったとき、縦・横の比はどうなるのでしょうか。

卓球台の面積は、何度も確認しているように1525 × 2740(mm)です。

では、2つの卓球台を横に並べて使うことを考えてみましょう。

1525mmの幅のみが2倍され、これが長さになりますから、縦横比は

2740 : 1525 × 2 = 2740 : 3050

となります。

ちなみに、このように面積を2倍にしても縦横比が変わらない図形は、ノート、プリントなどに使われており、その縦横比は白銀比と呼ばれています。

前回、卓球台の面積を2倍にするためには卓球台の4辺をすべて821mm伸ばせばよいことをまとめました。

今回は、卓球台の面積を2倍にしつつ、卓球台の形を変えない方法について考えていきたいと思います。

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卓球台の面積を倍にしたのはいいが、卓球台らしからぬ形になっては面倒ですね。

形を変えずに大きさを変えるための考え方として、相似があります。

相似とは、2つの図形のうち一方を拡大・縮小すれば他方と重なる状態をいいます。

一方をr倍したとき、その図形は縦も横もr倍になっているため、面積はr²倍になるのです。

では、面積を2倍にしようと思ったら、1辺は何倍にすればよいのでしょうか。

√2倍です。

つまり、1525 × 2740(mm)の卓球台をその形を変えずに大きくするには、

幅 : 1525 × √2 = 2157 (mm)
長さ : 2740 × √2 = 3875 (mm)

にすればよいことになります。